初等函数在其定义域内是可导的

基本初等函数在定义域内不一定都是可导的。比如y=绝对值x是初等函数，但是在x=0处不可导。

函数不可导是指函数导数不存在的地方。如果函数不连续（间断点,或者垂直渐近线），那么那个地方就是不可导的，因为本身就不在函数的定义域内。函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。

初等函数在其定义域内一定可积吗

不一定。

比如y=1/x, （0，1）有定义，但（0，1）上其积分为无穷，不可积。

或者y=sinx 在负无穷到正无穷上也不可积。

初等函数在其定义域上都是连续函数，

但并不一定都是可导的连续函数。

比如y=√(x²) 是初等函数，定义域为r

但在x=0处不可导。

所以初等函数在定义域是否可积视情况而定的。

初等函数定义域和定义区间

综述：范围不同。

定义域：一个使得函数有意义的所有的自变量的范围，端点要考虑在内。

定义区间只是定义域中的一个范围。是定义域的一个子集。举个最简单的例子y＝x，定义域是R，我要求在区间[0，5]上的y的值，那么这个区间[0，5]就叫定义区间。



用法：

高等数学中提到初等函数在定义区间（不是定义域）一定连续，函数如果在某些孤立的点有定义，那么这些点是在其定义域内的，但是这些孤立的点是不在其定义区间内的。总结就是：基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续。

为什么初等函数原函数一定存在

因为一切初等函数在其定义域内都有原函数。

连续函数一定存在原函数，具有震荡间断点的函数可能存在原函数

连续函数一定可积，具有有限个间断点且有界的函数可积

至于函数的原函数，能不能初等函数表示，是另一件事。

另外补充下

1、如果函数在区间上存在第一类间断点的话肯定是不存在原函数的。

2、如果函数在区间上存在第二类间断点的话有可能有原函数，有可能没有原函数的。

一切初等函数在其定义域内均连续

所有基本初等函数在其定义域内都是连续的，这句话是对的。

连续函数的其他性质：

1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

2、连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

3、连续函数的复合函数是连续的。

4、一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

扩展资料：

连续函数的相关定理：

1、闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

2、闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。

3、若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。

4、闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。