主成分分析和因子分析（用spss实现）

一、主成分分析

（1）问题提出

在问题研究中，为了不遗漏和准确起见，往往会面面俱到，取得大量的指标来进行分析。比如为了研究某种疾病的影响因素，我们可能会收集患者的人口学资料、病史、体征、化验检查等等数十项指标。如果将这些指标直接纳入多元统计分析，不仅会使模型变得复杂不稳定，而且还有可能因为变量之间的多重共线性引起较大的误差。有没有一种办法能对信息进行浓缩，减少变量的个数，同时消除多重共线性？

这时，主成分分析隆重登场。

（2）主成分分析的原理

主成分分析的本质是坐标的旋转变换，将原始的n个变量进行重新的线性组合，生成n个新的变量，他们之间互不相关，称为n个“成分”。同时按照方差最大化的原则，保证第一个成分的方差最大，然后依次递减。这n个成分是按照方差从大到小排列的，其中前m个成分可能就包含了原始变量的大部分方差（及变异信息）。那么这m个成分就成为原始变量的“主成分”，他们包含了原始变量的大部分信息。

注意得到的主成分不是原始变量筛选后的剩余变量，而是原始变量经过重新组合后的“综合变量”。

我们以最简单的二维数据来直观的解释主成分分析的原理。假设现在有两个变量X1、X2，在坐标上画出散点图如下：

可见，他们之间存在相关关系，如果我们将坐标轴整体逆时针旋转45°，变成新的坐标系Y1、Y2，如下图：

根据坐标变化的原理，我们可以算出：

Y1 = sqrt(2)/2 * X1 + sqrt(2)/2 * X2

Y2 = sqrt(2)/2 * X1 - sqrt(2)/2 * X2

其中sqrt(x)为x的平方根。

通过对X1、X2的重新进行线性组合，得到了两个新的变量Y1、Y2。

此时，Y1、Y2变得不再相关，而且Y1方向变异（方差）较大，Y2方向的变异（方差）较小，这时我们可以提取Y1作为X1、X2的主成分，参与后续的统计分析，因为它携带了原始变量的大部分信息。

至此我们解决了两个问题：降维和消除共线性。

对于二维以上的数据，就不能用上面的几何图形直观的表示了，只能通过矩阵变换求解，但是本质思想是一样的。

二、因子分析

（一）原理和方法：

因子分析是主成分分析的扩展。

在主成分分析过程中，新变量是原始变量的线性组合，即将多个原始变量经过线性（坐标）变换得到新的变量。

因子分析中，是对原始变量间的内在相关结构进行分组，相关性强的分在一组，组间相关性较弱，这样各组变量代表一个基本要素（公共因子）。通过原始变量之间的复杂关系对原始变量进行分解，得到公共因子和特殊因子。将原始变量表示成公共因子的线性组合。其中公共因子是所有原始变量中所共同具有的特征，而特殊因子则是原始变量所特有的部分。因子分析强调对新变量（因子）的实际意义的解释。

举个例子：

比如在市场调查中我们收集了食品的五项指标（x1-x5）:味道、价格、风味、是否快餐、能量，经过因子分析，我们发现了：

x1 = 0.02 * z1 + 0.99 * z2 + e1

x2 = 0.94 * z1 - 0.01 * z2 + e2

x3 = 0.13* z1 + 0.98 * z2 + e3

x4 = 0.84 * z1 + 0.42 * z2 + e4

x5 = 0.97 * z1 - 0.02 * z2 + e1

（以上的数字代表实际为变量间的相关系数，值越大，相关性越大）

第一个公因子z1主要与价格、是否快餐、能量有关，代表“价格与营养”

第二个公因子z2主要与味道、风味有关，代表“口味”

e1-5是特殊因子，是公因子中无法解释的，在分析中一般略去。

同时，我们也可以将公因子z1、z2表示成原始变量的线性组合，用于后续分析。

（二）使用条件：

（1）样本量足够大。通常要求样本量是变量数目的5倍以上，且大于100例。

（2）原始变量之间具有相关性。如果变量之间彼此独立，无法使用因子分析。在SPSS中可用KMO检验和Bartlett球形检验来判断。

（3）生成的公因子要有实际的意义，必要时可通过因子旋转（坐标变化）来达到。

三、主成分分析和因子分析的联系与区别

联系：两者都是降维和信息浓缩的方法。生成的新变量均代表了原始变量的大部分信息且互相独立，都可以用于后续的回归分析、判别分析、聚类分析等等。

区别：

（1）主成分分析是按照方差最大化的方法生成的新变量，强调新变量贡献了多大比例的方差，不关心新变量是否有明确的实际意义。

（2）因子分析着重要求新变量具有实际的意义，能解释原始变量间的内在结构。

spss怎么把几道题合并成一个维度

在 SPSS 中将多个题放在一个维度的方法如下：

首先在 SPSS 中打开数据文件，并选择需要合并的多个题目变量。

在 SPSS 菜单栏中选择“变量视图”，找到需要合并的题目变量，并为每个变量设置同一个标签名称，以表示它们属于同一维度。

在 SPSS 菜单栏中选择“数据视图”，然后在新变量的行中输入公式“COMPUTE 维度名称=变量1+变量2+变量3”，其中“维度名称”为自定义的变量名称，“变量1、变量2、变量3”为需要合并的多个题目变量名称。

最后单击 SPSS 菜单栏中的“数据”选项卡，选择“选择所有行”，然后单击“变量视图”选项卡，找到新创建的维度变量，并设置其测量类型和缺失值选项等属性。

通过以上步骤，即可将多个题目变量合并为一个维度变量，方便进行分析和统计。需要注意的是，在合并多个题目变量时，要确保它们的测量类型和数据类型相同，以避免合并错误。

重要性和满意度spss如何分析

在SPSS中，可以通过因素分析和回归分析来研究重要性和满意度的关系。

因素分析：因素分析可以帮助确定一组变量中的潜在因素，从而简化数据分析。在分析重要性和满意度时，可以通过因素分析将一组重要性和满意度的变量转换为几个潜在因素，然后研究这些因素之间的关系。以下是具体的步骤：

a. 在SPSS中选择“Analyze”菜单，然后选择“Data Reduction”>“Factor”。

b. 选择要分析的重要性和满意度变量，并选择因素分析的方法和旋转选项。

c. 根据因素分析的结果，确定重要性和满意度的潜在因素，并计算每个因素的得分。

d. 通过计算各个潜在因素的得分之间的相关系数，研究重要性和满意度之间的关系。

回归分析：回归分析可以帮助确定两个或更多变量之间的关系。在研究重要性和满意度时，可以使用回归分析来确定重要性变量对满意度变量的影响。以下是具体的步骤：

a. 在SPSS中选择“Analyze”菜单，然后选择“Regression”>“Linear”。

b. 将满意度变量作为因变量，将重要性变量作为自变量，并选择其他控制变量（如年龄、性别等）。

c. 分析回归分析的结果，包括回归系数、截距、显著性水平等，以确定重要性变量对满意度变量的影响。

d. 可以使用回归分析来建立预测模型，预测不同重要性水平下的满意度水平。