1.函数连续性的定义: 设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。

若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。

2.函数连续必须同时满足三个条件：

（1）函数在x0 处有定义；

（2）x-> x0时，limf(x)存在；

（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。则初等函数在其定义域内是连续的。间断点的定义：间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。

如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。1.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。

如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

2.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。

如函数y=|x|/x在点x=0处。3.无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。

如函数y=tanx在点x=π/2处。

4.振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。

如函数y=sin(1/x)在x=0处。可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。

函数在一点连续的定义 扩展

连续性是函数的一个性质 简单点说就是函数的极限值等于函数值 连续相对的就是间断 通俗的理解就是那条线中间没有间断的

函数在x=x0处有定义，就是f(x0)存在。

通俗的说，就是自变量取x0时，函数等于某一个确定的数。

如y=(x-2)/(x-4)，在x=4处无定义（因为f(4)不存在），在x=2处有定义（因为f(2)=0，是确定的数）