定性理解：

时间平移对称性：

系统时间的不同不影响系统的力学属性，不同时间能量守恒，体现了时间的均匀性（homogeneous）。

空间平移对称性：

系统中的位置不影响系统的力学属性，不同位置动量守恒，体现了惯性系中的空间均匀性（homogeneous）。

空间旋转对称性：

系统的朝向不影响系统的力学属性，不同朝向角动量守恒。体现了空间的各向同性（isotropic）。

要真正理解这个概念，最直观的方式我想是通过拉格朗日量（Lagrangian）：一个可以描述整个系统运动信息的函数，定义为动能项与势能项的差： 。写出此量后，欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）可以描述系统的运动：

推导：

下面利用拉格朗日量，从对称性推出守恒量：

时间对称性

由于惯性系内时间是均匀的，可以理解为没有哪个时间点更为特殊，拉式量不限含时间，有：

，所以拉式量关于时间的全微分有： ，用欧拉拉格朗日方程换掉 得到： 。

对于定常系统（scleronomic，坐标约束不显含时间），可求得动能T有：

所以 ，H表示系统能量，能量守恒。

平移对称性

惯性系内空间也是均匀的，考虑把整个系统平移一小段无穷小距离，拉式量应该不变。为了省事，这里只写了一个粒子在笛卡尔坐标系下的表示，但是不失普遍性，反正大喊求和就可以表示一堆粒子了。

为对于系统内每个位置向量 都移到 ，拉式量对应变化为：

各个位移都是独立的所以上式成立当且仅当 ，也就是 ，势能不显含速度，所以就是 ,系统动量守恒。

旋转对称性

由空间各向同性，朝向不影响系统的力学属性。你在北京面对麦加方向面对的力学定律与你面对纽约时候面对的力学定律是一样的。这可以表示为：

在系统旋转一个无穷小角度的时候，系统的拉格朗日量不变。

（这其实是一个很有趣的点，因为旋转一般都是不符合交换律的，几个旋转的操作顺序不能随便交换，然而我们可以用一个向量来表示无穷小旋转以此来表示特定旋转状态。。。）

设一个系统的矢径（可以代表系统朝向）为向量r，向量r沿特定轴旋转一个无穷小角度 对应一个向量 ，且有 ，如图：

由各向同性，速度矢量一样应该不随旋转改变，所以有：

假如只考虑一个粒子，带入笛卡尔坐标下的拉格朗日量得到系统拉式量的变化：

，由动量： 得到：

于是角动量守恒。