一、垂直平分线（点到点的距离）

线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

写成“如果…，那么…”的形式：

如果一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点到线段两个端点的距离相等。（点到点的距离）

书写格式：

∵ 直线l是线段AB 的垂直平分线（直线l垂直平分线段AB ），

∴　PA =PB．

作用：

可用来证明两条线段相等



线段垂直平分线的性质定理的逆命题：

写成“如果…，那么…”的形式：

如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点是线段垂直平分线上的点。

简写为：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

即 线段垂直平分线的判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

书写格式：

∵　PA =PB，

∴　点P 在AB 的垂直平分线上．

作用：

判断一个点是否在线段的垂直平分线上或判定线段的垂直平分线



例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC。

求作：直线OA垂直平分线段BC。

证明： ∵AB=AC

∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)

同理，点O在线段BC的垂直平分线上

∴直线AO是线段BC的垂直平分线 (两点确定一条直线)





三角形三边垂直平分线定理：

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

书写格式：

∵　点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，

∴　PA =PB=PC．





思路梳理：



证明：连接PA，PB，PC.

∵点P在AB，AC的垂直平分线上，

∴PA=PB，PA=PC

（线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）.

∴PB=PC.

∴点P在BC的垂直平分线上

(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.



二、角平分线（点到线的距离：垂线段）

角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

写成“如果…，那么…”的形式：

如果一个点是角平分线上的点，那么这个点到角的两边的距离相等。

定理的条件：

（1）角的平分线；

（2）点在该平分线上；

（3）垂直距离（两垂线段）.

书写格式：

∵OP 是∠AOB的平分线，

PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD = PE

作用：证明线段（垂线段）相等.



角平分线的性质定理的逆命题：

逆命题为：

如果一个点到角的两边距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。

角平分线的性质定理的逆定理：

在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

定理的条件：

（1）位置关系：点在角的内部；

（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.

定理的作用：判断点是否在角平分线上或判定角平分线

应用格式：

∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.

∴点P 在∠AOB的平分线上.



三角形三条角平分线定理：

三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。





思路梳理：



证明：过点P作PI，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，

∵BE是△ABC的角平分线，

点P在BE上，

∴PI=PG.

同理PH=PI

∴PI=PH=PG.

即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

垂直平分线的性质：

(1)垂直平分线垂直且平分其所在线段。

(2)垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

(3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

(4)垂直平分线的判定：必须同时满足①直线过线段中点；②直线⊥线段。

2、垂直平分线判定方法：

(1)利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。

(2)到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)。

3、垂直平分线的逆定理：

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

垂直平分线的判定定理 扩展

垂直平分线判定

          到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。

其性质定理也要掌握好！