等差数列求和公式推导

等差数列的求和公式可以用两种方法推导得出。

方法一：

我们设等差数列的前 n 项和为 Sn，首项为 a1，公差为 d，则：

Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + [a1+(n-1)d]

然后，我们计算：

Sn + Sn = [a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)] + [(a1+(n-1)d) + (a1+(n-2)d) + ... + (a1+d) + a1]

相邻的项相加，得到：

2Sn = [(2a1 + (n-1)d) + (2a1 + (n-1)d) + ... + (2a1 + (n-1)d)]

将等号右边的一系列项写成 n 个 2a1 + (n-1)d 的形式，则：

2Sn = n[2a1 + (n-1)d]

化简可得求和公式：

Sn = n/2 [2a1 + (n-1)d]

方法二：

递推法利用等差数列的递推关系进行推导。

首先，我们设等差数列的前 n 项和为 Sn，首项为 a1，公差为 d。假设我们已经知道了前 n-1 项的和 S(n-1)，那么第 n 项的值为：

an = a1 + (n-1)d

将前 n 项的和分解为前 (n-1) 项的和与第 n 项的和，有：

Sn = S(n-1) + an

将 an 带入得：

Sn = S(n-1) + a1 + (n-1)d

接着，我们通过多次递推，将 S1 代入，得到：

Sn = na1 + (1+2+...+(n-1))d

然后，我们利用高斯公式：

1+2+...+(n-1) = n(n-1)/2

将其代入得到：

Sn = n/2 [2a1 + (n-1)d]

由此也得到了等差数列求和公式。

这两种方法各有优劣，但从中可以看到公式的本质，即等差数列前 n 项和与其首项和公差之间的关系。

等差数列求和公式推导过程

等差数列求和公式推导用倒序相加法。等差数列前n项和等于（首项+尾项）×项数÷2，根据通项公式第n项等于首项+（n-1）×公差，也可以得到等差数列前n项和等于n×首项+n(n-1)d÷2。

高中数学等差数列求和公式推导

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差。前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

等比数列求和的三个推导方法

求和公式推导

(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4

(3)Sn-q*Sn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)(4)a(n+1)=a1*q^n

(5)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)性质

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则

amxan=apxaq;

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列;

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则 amxan=(aq)^2;

④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab(G ≠0);

⑤在等比数列中，首项a1与公比g都不为0

⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^k+1

⑦数列{An}是等比数列，An=pn+q，则 An+K=pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比g都不为零. 注意:上述公式中 A^n表示A的n次方。 ⑧当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。

等差数列求和的项数公式怎么来的

 等差数列求和的项数公式是 Sn = (a1 + an)n/2。

1. 这个公式是由数列求和的基本思路得来的，将一串等差数列求和可以看做是一个和值，用Sn表示。

这个和值可以表示为n项数的和，也就是 a1+a2+...+an，其中n表示项数。

2. 对于等差数列，首项是a1，公差是d，末项是an，则它的第n项可以表示为a1+(n-1)d，所以代入和值公式可以得到Sn = (n/2)(a1+an)。

3. 整理得到Sn = (a1 + an)n/2，这个公式便是等差数列求和的项数公式。