你是个弯的什么意思

人家说你弯的意思是说你的思想是一点都不值得表示，你的思想容易想歪或者想入非非和正常人的思想是不太一样的。是我们在生活中不管自己有没有能力？我们都要让自己保持非常正义的思想，我们才可以让自己的生活一直都在正轨上，如果你的生活步入不正确的轨道，那么你的人生一定会是失败的

刀弯了是什么网络用语

就是指刀不直了的意思。

弯的详细释义：

(形声。本义:拉弓)

同本义

弯,持弓关矢也。——《说文》

弯,引也。——《广雅·释诂一》

弯綦卫之箭。——《淮南子·原道》

弯威弧之拔刺兮。——《文选·张衡·思玄赋》

又如:弯弹(拉弓射弹);弯弓(弯弧。拉弓);弯卒(弓兵);弯弓饮羽(形容勇猛善战)

折,使弯曲

定睛再看时,却是史大汉弯跧蹲在东司边。—— 明· 冯梦龙《喻世明言》

又如:弯跧(身体蜷缩);弯转(展转搞到);弯踦(弯曲的河岸);弯躬(弯下身子);弯弯扭扭(弯曲;扭动);弯身拾禾;越过岩石海岸线向西弯去。

什么是曲率

（小石头来尝试着回答这个问题！）

关于曲率概念的简要发展历史：

早期曲率的概念是伴随着《微积分》一起出现地，它是对于曲线而言的，也是构成经典微分几何中《曲线论》的基石之一；

之后，以高斯为主的数学家将 曲线的曲率 引入到曲面中，得到了：法曲率、侧地曲率、高斯曲率 等概念，同时也促成了《曲面论》的诞生；

再之后，黎曼将 高斯曲率 等概念 推广到 任意维度的流形中 以 构建《黎曼几何》，从而开启了现代微分几何的大门。

接下来，小石头将详细介绍前两个阶段中的曲率。（至于第三个阶段的曲率，由于需要微分流形相关的一系列基础知识，无法在本回答中进行讨论，以后时机成熟时我们再讨论。）

基于《解析几何》的知识，我们知道，三维空间 R³ 的空间曲线，可写成如下参数形式（t ∈ R）：

为了方便，仿照空间向量 r = (x, y, z)，我们将 曲线的参数方程，改写为：

r(t) = (x(t), y(t), z(t))

这样，就得到 一个函数 r: R → R³，称这种函数为 向量函数。

向量函数 除了自然具有 向量的加法、数乘、模（范数） 等运算 外，我们还定义 微积分运算 如下：

r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))

∫ r(t) dt = (∫ x(t) dt, ∫ y(t) dt, ∫ z(t) dt)

由《高等数学》的微分知识，我们知道，曲线 r(t) 的导数 r'(t) 为 曲线 在 t 点处的 切线，再根据曲线积分，可得到 曲线弧长函数：

利用弧长函数，曲线从 a 到 b 的 弧长为：s(b) - s(a)。

如果，曲线参数 t 的选取，使得：

|r‘(t)| = 1

则，曲线的弧长函数变为：

s = ∫ 1dt = t

这时，曲线就是以 弧长作为参数，即，

r(t) = r(s)

我们称这种 弧长参数 为 自然参数。

因为 |r'(s)| = 1，所以，在自然参数下，曲线 r(s) 的切向 r’(s) 为 单位向量，称为 切向量，记为 α = r’(s)。

由于， α 是单位向量，所以 α 只指示曲线方向，进而 其导数 α' 自然就是 曲线的方向的变化，令，

κ = |α'| , β = α / κ

则，β 表示 曲线方向变化的方向，κ 就是曲线方向的变化率，称 κ 为 曲率。

曲率 κ(s) 表征曲线 在每个 s 点的弯曲程度，有，

κ(s) = 0 ，曲线为直线；

κ(s) = 非零常数，曲线为位于球面上；

注：除了曲率外，决定曲线形状的另外一个因素 是 挠率。挠率为 0 的 曲线在 一个平面内，这时 如果 曲率为非零常数，则 曲线是一个圆。

关于 挠率的 详细介绍 可参考 我回答的 另一个问题：挠率描述的是空间曲线的什么？

注：α 不指示曲线长度随着 参数 s 的变化快慢。曲线长度的变化率 |r’(t)|，不影响曲线的形状，它只是表征 参数 t 在曲线内部行走的速度，当 t = s 时，就表明 t 在 做 速度 = 1 的匀速直线（t 在 曲线内部认为自己走的是直线）运动。

对于任意向量函数 a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)) 和 b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t)) 有，

(a ⋅ b)' = (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)‘ = a₁'b₁ + a₁b₁' + a₂'b₂ + a₂b₂' + a₃'b₃ + a₃b₃' = (a₁'b₁ + a₂'b₂ + a₃'b₃ ) + (a₁b₁' + a₂b₂' + a₃b₃') = a' ⋅ b + a ⋅ b'

再根据 向量内积的性质：

|a|² = a ⋅ a

对等式两边求导，有：

2|a|' = (|a|²)’ = (a ⋅ a)' = a' ⋅ a + a ⋅ a' = 2 a ⋅ a'

得到：

|a|' = a ⋅ a'

使用上面的结论，有：

α ⋅ α' = |α|' = |r'(s)|' = 1' = 0

而我们知道：

内积为 0 的 两个非零向量一定相互垂直

因为 a ⋅ b = |a||b| cos ∠ a b ，当 a ⊥ b 时 ∠ a b = π/2 + kπ ，于是 a ⋅ b = |a||b| cos(π/2 + kπ) = 0。

因此，得到：

α' ⊥ α，即，β ⊥ α

这说明，曲率方向一定垂直于 切线方向，于是 称 β 为 主法向量。

利用上面的曲线曲率概念，仅使用 高中所学的《解析几何》的知识，我们可以有如下的一系列关于曲面的定义：

与 曲面 S 有且仅有一点 p 重合的平面 T 称为 切面，p 称为 切点；

过切点 p 垂直于 切面 T 的直线 n，称为 法线；

以法线为轴 的 任意平面 N，都称为 一个 法截面；

法截面 N 和 曲面 S 的交线 m 称为 法截线；

将 法截线 m 的 曲率 称为 曲面 S 在 p 点 处 沿着 法截面 N 方向 的 主曲率，记为 κ_n。

由图可知，主曲率 κ_n 描述了 曲面在 p 点 这个位置，法截面 N 这个方向 的 弯曲程度，不同的位置和方向，曲面的弯曲程度往往不同。

诚然，上面的这些定义非常的粗糙，要搞清楚 法曲率 的性质，我们需要进一步分析。

仿照 上面 曲线的做法，我们可以将 曲面的参数方程（u, v ∈ R）：

改写为，二元向量函数 r: R² → R³，

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

这样以来，曲面 r (u, v) 就将 UV 平面 R² 中的点 (u, v) 映射为 XYZ 三维空间 R³ 中的点 r(u, v) = (x, y, z) ，同时 也将 任意 平面曲线：

w = (u(t), v(t))

映射为 空间曲线：

r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))，

而且，这些空间曲线 r(t) 都有位于 曲面 r(u, v) 上。

和前面的 向量函数的导数运算类似，可以定义 二元向量函数的 偏导运算：

rᵤ(u, v) = (xᵤ(u, v), yᵤ(u, v), zᵤ(u, v))

rᵥ(u, v) = (xᵥ(u, v), yᵥ(u, v), zᵥ(u, v))

再根据，《高等数学》中的 二元函数链式求导法则：

f'(u, v) = fᵤ u' + fᵥ v'

有，

r’(t) = r'(u, v) = (x'(u, v), y'(u, v), z'(u, v)) = (xᵤu' + xᵥv', yᵤu' + yᵥv', zᵤu' + zᵥv') = (xᵤ, yᵤ, zᵤ)u' + (xᵥ, yᵥ, zᵥ)v' = rᵤu' + rᵥv'

即，

r’(t) = rᵤu'(t) + rᵥv'(t)

由于，曲线 S 上 任意一点 p 处，偏导向量 rᵤ|p 和 rᵥ|p 是确定的，于是 上式说明：

曲面内 任意 过 p 点的曲线 r(t) 在 p 点 处的 切线向量 r'(t)|p 是 偏导向量 rᵤ|p 和 rᵥ|p 的线性组合

进而，只要保证 rᵤ|p 和 rᵥ|p 线性无关，则 过 p 点的 所有 曲面内曲线 在 该点处 的切向量 组成 一个 以 rᵤ|p， rᵥ|p 为基 的 二维 线性空间，称为 切空间，记为 Tp(S)。

切空间 Tp(S) 就上面定义中的 p点处的切面 T。

另外，我们称，可以保证 任意一点 p 的 rᵤ 和 rᵥ 都 线性无关 的 具有三阶连续偏导 的 曲面 ，为 正则曲面。本回答，所讨论的曲面都是正则曲面。

所谓 rᵤ 和 rᵥ 线性无关，就是 rᵤ 和 rᵥ 不平行，根据 向量外积的性质，有：

当 rᵤ // rᵥ 时，|rᵤ × rᵥ| = 0

因为|rᵤ × rᵥ| = |rᵤ| |rᵥ| sin ∠ rᵤ rᵥ 当 rᵤ // rᵥ 时 ∠ rᵤ rᵥ = kπ ，于是 |rᵤ × rᵥ| = |rᵤ| |rᵥ| sin(kπ) = 0。

于是 只要满足 |rᵤ × rᵥ| ≠ 0 就是可以保证 rᵤ 和 rᵥ 线性无关了。

在利用 向量外积的定义：

(rᵤ × rᵥ) ⊥ rᵤ, (rᵤ × rᵥ) ⊥ rᵥ

我们，令，

n = rᵤ × rᵥ / |rᵤ × rᵥ|

单位向量 n 垂直于 切空间 内 所有 切向量，从而 就 垂直于 切面 T，于是 就 位于 法线 n 内，称 n 为 曲面 的 法向量。

考虑 任意 具有自然参数的 曲面内 曲线 r(s) = r(u(s), v(s))，有，

α = r'(s) = rᵤu'(s) + rᵥv'(s)

于是，

α' = (rᵤu'(s) + rᵥv'(s))' = (rᵤ)'u'(s) + rᵤu''(s) + (rᵥ)'v'(s) + rᵥv''(s) = (rᵤᵤu'(s) + rᵤᵥv'(s))u'(s) + rᵤu''(s) +(rᵥᵤu'(s) + rᵥᵥv'(s))v'(s) + rᵥv''(s) = rᵤᵤ(u'(s))² + rᵤᵥv'(s)u'(s) + rᵥᵤu'(s)v'(s) + rᵥᵥ(v'(s))² + rᵤu''(s) + rᵥv''(s)

再根据，《高等数学》中偏导性质，有：

rᵤᵥ = rᵥᵤ

最后得到：

α' = rᵤᵤ(u'(s))² + 2rᵤᵥu'(s)v'(s) + rᵥᵥ(v'(s))² + rᵤu''(s) + rᵥv''(s)

再考虑，曲率 κ = |α'| 在法向量 n 上投影：

κ cos∠ α' n = κ 1 cos∠ α' n = |α'| |n| cos∠ α' n = α' ⋅ n = rᵤᵤ ⋅ n (u'(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu'(s)v'(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v'(s))² + rᵤ ⋅ nu''(s) + rᵥ ⋅ nv''(s)

因为 n ⊥ rᵤ, rᵥ 所以 rᵤ ⋅ n = rᵥ ⋅ n = 0，于是得到：

κcos∠ α' n = rᵤᵤ ⋅ n (u'(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu'(s)v'(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v'(s))²

和上面类似，对于确定 p 点来说，rᵤᵤ ⋅ n， rᵤᵥ ⋅ n， rᵥᵥ ⋅ n 都是确定的，因此 曲线 r(s) 曲率 在 法向量上的投影 只取决于 其，对应的 UV平面 曲线 w(s) = (u(s), v(s)) 的 导数 w'(s) = (u'(s), v'(s))，而 s 是自然参数，所以|w'(s)| = 1，故，w'(s) 只表征 切线的方向，于是我们可以得出如下结论：

过 任意点 p 的 具有同一切线的 曲面内曲线 r(s) 在 p 点处的 曲率 在 法向量 上的 投影 相同。

根据前面的结论，法截线 m 的 曲率方向 β 垂直于 切线 l，而切线 l 又 与 法线 n 垂直，再加上 法截线 m 和 法线 n 都 处于法截面 N 内，因此 β // n ，这说明 m 的曲率 在 法向量 上 投影 就是 自己，同时也是 曲面 在 l 方向 的 主曲率 κ_n。又由于 任何 以 l 为切线的 曲面内曲线 的曲率 在 法向量 上 投影 都相当，所以 这个投影 就是 主曲率 κ_n，即，

κ_n = κcos∠ α' n = rᵤᵤ ⋅ n (u'(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu'(s)v'(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v'(s))²

写成微分形式为：

κ_n = rᵤᵤ ⋅ n (u'(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu'(s)v'(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v'(s))² = L (du / ds)² + 2rᵤᵥ ⋅ n du/ds dv/ds + rᵥᵥ ⋅ n (dv/ds)² = (rᵤᵤ ⋅ n du² + 2rᵤᵥ ⋅ n dudv + rᵥᵥ ⋅ n dv²) / ds²

另一方面，有，

1 = |α| = α⋅α = (rᵤu'(s) + rᵥv'(s)) ⋅ (rᵤu'(s) + rᵥv'(s)) = rᵤ⋅rᵤ(u'(s))² + 2rᵤ⋅rᵥu'(s)v'(s) + rᵥ⋅rᵥ(v'(s))² = rᵤ⋅rᵤ (du / ds)² + 2rᵤ⋅rᵥ du/ds dv/ds + rᵥ⋅rᵥ(dv/ds)² = (rᵤ⋅rᵤ du² + 2rᵤ⋅rᵥ dudv + rᵥ⋅rᵥ dv²) / ds²

于是得到：

κ_n = (rᵤᵤ ⋅ n du² + 2rᵤᵥ ⋅ n dudv + rᵥᵥ ⋅ n dv²) / (rᵤ⋅rᵤ du² + 2rᵤ⋅rᵥ dudv + rᵥ⋅rᵥ dv²)

为了方便，令：

E = rᵤ⋅rᵤ, F = rᵤ⋅rᵥ, G = rᵥ⋅rᵥ, Ⅰ= Edu² + 2Fdudv + Gdv²

L = rᵤᵤ ⋅ n, M = rᵤᵥ ⋅ n, N = rᵥᵥ ⋅ n, Ⅱ = Ldu² + 2Mdudv + Ndv²

则最终得到：

κ_n = Ⅱ/Ⅰ

其中，Ⅰ 和 Ⅱ 是曲面的两种基本的二次微分形式，类似于一次微分形式：dr = rᵤdu + rᵥdv。

曲面上 p 点处 沿着不同的切线方向 法曲率不尽相同，可以找出其中的 最大值 和 最小值，我们 称为 主曲率，对应的切线方向称为 主方向。如果 p 点处 任意切线方向的 法曲率 都相同，则 称 p 点 为 脐点，脐点 的任意切线方向都是 主方向。

可以证明：曲面上任意一点的两个主方向总是相互垂直的，并且，设 κ₁，κ₂ 是主曲率 e₁, e₂ 是两个主方向的单位向量，则 任意切向量 e = e₁cosθ + e₂sinθ 方向的 法曲率为：

κ_n = κ₁cos²θ + κ₂sin²θ

这个也称为 欧拉公式。

利用欧拉公式，计算 法曲率 就是归结为 计算 主曲率，那么 如何计算 主曲率 呢？ 经过研究数学家发现，曲面的主曲率 κ₁，κ₂ 是一元二次方程：

ax² + bx + c = 0, a = EG - F², b = - (LG - 2MF + NE), c = LN - M²

的两个实数根。

可以验证 b² - 4ac ≥ 0，这说明 曲面的主曲率 总是存在。

根据韦达定理，有：

K = κ₁κ₂ = c/a = (LN - M²) / (EG - F²)

称 K 为 高斯曲率。

平面 的 高斯曲率 K 恒为 0，但 高斯曲率 K 恒为 0 的曲面 不一定是 平面，例如：柱面。可以证明，高斯曲率 K 恒为 0 的曲面 都可以被 无缩放的 展开成 为 平面，称 为 可展曲面。

一个曲面内曲线的 r 曲率 κ 在 法向量 n 上的投影 法曲率 κ_n，和 曲线 r 无关，它体现的是 曲面 在 切向量 α 方向的 弯曲程度，那么问题来了，我们用什么表征 曲面内 曲线 r 的实际 弯曲程度呢？聪明的条友估计已经想到了，那么就是 将 曲率 κ 在切平面 T 上进行投影，称为 测地曲率，记为 κ_g。

具体来说，由于 单位向量 α × n ∈ T，并且 α × n ⊥ α, n 所以 κ 切平面 T 的 投影，就是 κ 在 α × n 上的投影，于是我们得到测地曲率公式：

κ_g = α' ⋅ (α × n) = (n, α, α')

测地曲率横为零的曲面内曲线称为，测地线。测地线 在 UV 平面 中 是一条直线，因此 测地线 也被看曲面上的直线。球面的大圆（例如：赤道纬线，经线）就是测地线。

非欧几何的第五公设：

过直线外一点，有不等于 1 条直线和原直线平行。

中的 直线 就是指的 测地线。

在《平面几何》中有，外角和公式：

多边形外角之和 = 360°

将其扩展到 曲面多边形，就是高斯博内特公式：

设，曲面中的曲边多边形 C 围成的区域是 D，外角是 α₁, α₂, ..., α_n，则有,

对于 平面 来说 K = 0，多边形的边是直线 κ_g = 0，这样 高斯博内特公式 就退化为 外角和公式。

设 直边三角形（边为测地线 κ_g = 0） 内角为 φ₁, φ₂，φ₃，根据 高斯博内特公式 有：

∫∫ ᴅ K dσ + (π - φ₁) + (π - φ₂) + (π - φ₃) = 2π

得到：

φ₁ + φ₂ + φ₃ = π + ∫∫ᴅ K dσ

平面 的 高斯曲率 K = 0，于是 三角形内角和等于 180°；

马鞍面 的 高斯曲率 K < 0, 于是 三角形内角和小于 180°；

椭球面 的 高斯曲率 K > 0, 于是 三角形内角和大于 180°；

这个结论，我们在 非欧几何的 科普文章中 常常看到。

至此，在《黎曼几何》之前的 关于 曲率的知识 就给大家介绍完了！这些知识，对于有志于了解非欧几何 是非常重要的，更是 进入 非欧几何 的正确途径。

（小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！）

鱼线延展性是什么意思

鱼线几乎都带有延展性,只是大小而已,有的很小,在使用中可以忽略不计。延展性是书面的叫法,渔友们经常说的弹性,容量拉长,这些意思与延展性差不多,用在鱼线上的反正就都是相同的意思。那鱼线具有延展性是优点吗?买鱼线之前还是多了解一下吧。

鱼线具有延展性不是什么优点,质量不好的鱼线延展性就大。举个例子说,鱼线是我们需要定期更换的,因为你用了几次后就会发现,鱼线会比原来长出来一段。好鱼线的话我们钓鱼七八次更换一次就行,不好的鱼线四五次就得更换。这很容易看出所有的鱼线都有延展性,可质量不好的鱼线恢复性还很差。

所以选鱼线是不仅要看鱼线的延展性,恢复性也很重要的。恢复性很好检验,弄弯、弄乱后轻轻一拉就能恢复原样,这样的鱼线说明恢复性很好。

尼龙线的延展性是很难克服的,大力马线在这点上要比尼龙线强,所以买鱼线时可以优先考虑大力马鱼线。